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在偏序集合 ( P ,≤) 中，元素 c 被稱為是緊緻的 (或有限的)，如果它滿足下列等價的條件中的一個: 對於 P 的所有非空 有向子集 D ，如果 D 有上確界 sup ( D) 且 c ≤ sup ( D) ，則有 D 的某個元素 d 使得 c ≤ d 。. 對於 P 的所有 理想 I ，如果 I 有上確界 sup ( I) 且 c ≤ ...
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霜 是水蒸氣（也就是氣態的水）在溫度很低時，一種凝華現象，跟雪很類似。[1] [2] 嚴寒的冬天清晨，戶外植物上通常會結霜，這是因為夜間植物散熱的慢、地表的溫度又特別低、水蒸氣散發不快，還聚集在植物表面時就結凍了，因此形成霜 ...
臺灣正體. 在數學上， 緊緻收斂 （英語： compact convergence ）或是稱作 緊緻集上的均勻收斂 （英語： uniform convergence on compact set ）是一種由均勻收斂的想法上推廣之後的收斂性質。 這種收斂性質與 緊緻開拓樸 有相關。 定義 [ 編輯] 讓 是一個拓樸空間而且 是一個賦距空間。一個函數列 , 被稱作 緊緻收斂 到函數 如果說對所有在 的緊緻集合. 有 均勻收斂。 這也代表說對所有在 的緊緻集合 ，有. 來源 [ 編輯] James, Munkres. Topology. ISBN 978-0131816299. 分類 ： . 泛函分析. 收斂 (數學) 函數空間的拓撲. 拓撲空間.
- 定義
- 等價
- 例子和反例
- 性質
- 預正則性和正則性
- 變體
- 引用
假設X是拓撲空間。設x和y是X中的點。我們稱 x 和 y 可以「由鄰域分離」，如果存在 x 的鄰域 U 和 y 的鄰域 V 使得 U 和 V 是不相交的（U ∩ V = ∅），且 X 中的任意兩個不同的點都可以由這樣的鄰域分離，那麼稱 X 是郝斯多夫空間。這也是郝斯多夫空間叫做 T2空間或分離空間的原因。 X 是預正則空間，如果任何兩個拓撲可區分的點可以由鄰域分離。預正則空間也叫做 R1空間。 在這些條件之間的聯繫如下。拓撲空間是郝斯多夫空間，若且唯若它是預正則空間和科摩哥洛夫空間的二者（就是說獨特的點是拓撲可區分的）。拓撲空間是預正則空間，若且唯若它的科摩哥洛夫商空間是郝斯多夫空間。
對於拓撲空間X，以下論述等價： 1. X {\displaystyle X} 是郝斯多夫空間。 2. { ( x , x ) | x ∈ X } {\displaystyle \{(x,x)|x\in X\}} 是積空間X × X {\displaystyle X\times X} 的閉集。 3. X中極限是唯一的(就是序列、網和濾子收斂於最多一個點)。 4. 所有包含在X中的單元素集合都等於包含它的所有閉鄰域的交集。
在數學分析所遇到的幾乎所有空間都是郝斯多夫空間；最重要的實數是郝斯多夫空間。更一般的說，所有度量空間都是郝斯多夫空間。事實上，在分析中用到的很多空間，比如拓撲群和拓撲流形在其定義中明確的聲明了郝斯多夫條件。 最簡單的是 T1空間而非 T2 空間的拓撲的例子是餘有限空間。 偽度量空間典型的不是郝斯多夫空間，但是它們是預正則的，並且它們在分析中通常只用於構造郝斯多夫 gauge空間。實際上，在分析家處理非郝斯多夫空間的時候，它至少要是預正則的，他們簡單的把它替代為是郝斯多夫空間的它的科摩哥洛夫商空間。 相反的，在抽象代數和代數幾何更經常見到非預正則空間，特別是作為在代數簇或交換環譜上的扎里斯基拓撲。他們還出現在直覺邏輯的模型論中：所有完全 Heyting代數都是某個拓撲空間的開集的代數，但是這個...
郝斯多夫空間的子空間和乘積是郝斯多夫空間，但是郝斯多夫空間的商空間不必須是郝斯多夫空間。事實上，所有拓撲空間都可以實現為某個郝斯多夫空間的商。 郝斯多夫空間是T1空間，這意味著所有單元素集合是閉集。類似的，預正則空間是 R0空間。 郝斯多夫空間另一個美好的性質是緊緻集合總是閉集，這是因為假定H {\displaystyle H} 是一個郝斯多夫空間，而S {\displaystyle S} 是H {\displaystyle H} 的一個緊緻集合，那對於任何位於S {\displaystyle S} 的補集S ¯ {\displaystyle {\bar {S}}} 中的點x {\displaystyle x} 而言，x {\displaystyle x} 都會位於一個作為S ¯ {\dis...
所有正則空間都是預正則空間，也都是郝斯多夫空間。有很多拓撲空間的結果對正則空間和郝斯多夫空間二者都成立。多數時候這些結果對於所有預正則空間也成立；它們對正則空間和郝斯多夫空間要分開列出，因為預正則空間的概念要更晚。在另一方面，這些對於正則性為真的結果一般不適用於非正則郝斯多夫空間。 有很多情況拓撲空間的其他條件（比如仿緊緻性或局部緊緻性）也蘊涵正則性，如果它滿足預正則性的話。這種條件經常有兩個版本：正則版本和郝斯多夫版本。儘管郝斯多夫空間一般不是正則性的，局部緊緻的郝斯多夫空間是正則性的，因為任何郝斯多夫空間都是預正則性的。因此從特定角度來看，在有關這些情況的時候它實際是預正則性的，而非正則性的。但是，定義仍依據正則性來措辭，因為這些條件比預正則性更周知。 更詳細細節請參見分離公理的歷史。
術語「郝斯多夫」、「分離」和「預正則」還可以用於在拓撲空間上的變體如均勻空間、柯西空間和收斂空間。在所有這些例子中統一的概念特徵是網或濾子（在它們存在的時候）的極限是唯一的（對於分離空間）或在拓撲同構意義下唯一的（對於預正則空間）。 這顯現出均勻空間和更一般的柯西空間總是預正則的，所有在這些情況下郝斯多夫條件簡約為T0條件。還有完備性在其中有意義的空間，郝斯多夫性在這些情況下是完備性的自然夥伴。特別是，一個空間是完備的，若且唯若所有柯西網有至少一個極限，而一個空間是郝斯多夫的，若且唯若所有柯西網都有最多一個極限（因為只有柯西網可以首先有極限）。
Munkres, J. R., 2000, Topology, 2nd edition, Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9趙文敏，《拓撲學導論》，九章出版社，ISBN 978-957-603-018-5Arkhangelskii, A.V., L.S.Pontryagin, General Topology I,（1990）Springer-Verlag, Berlin. ISBN 978-3-540-18178-1莫比烏斯帶，只有一個面與一個邊，為拓撲學所研究物件的一類。 在數學裡，拓撲學（英語： Topology ）也可寫成拓樸學 [1]，或意譯為位相幾何學，是一門研究拓撲空間的學科，主要研究空間內，在連續變化 [註 1] 下維持不變的性質。在拓撲學裡，重要的拓撲性質包括連通性與緊緻性。
研究緊緻空間的主要原因之一是因為它們以某種方式類似於 有限集合 ：有很多結果易於對有限集合證明，其證明可以通過極小的變動就轉移到緊緻空間上。 常說「緊緻性是在有限性之後最好的事情」。 例如： 假設 X 是 豪斯多夫空間 ，我們有一個 X 中的點 x 和不包含 x 的 X 的有限子集 A 。 則我們可以通過 鄰域 來 分離 x 和 A :對於每個 A 中的 a ，設 U ( x )和 V ( a )分別是包含 x 和 a 的不相交的鄰域系統。 則所有 U ( x )的交集和所有 V ( a )的併集就是要求的 x 和 A 的鄰域。 注意如果 A 是 無限 的，則證明失敗，因為任意多個 x 的鄰域的交集可能不是 x 的鄰域。
