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本項ではTCPやUDPにおけるポート番号の一覧を示す。 コンピュータネットワークにおいて、インターネット・プロトコル・スイートのトランスポート層にあたるTransmission Control Protocol (TCP) やUser Datagram Protocol (UDP) では、他のプロトコル同様、ホスト間通信のエンドポイントを指定する際に数字の ...
概要. 産業革命 、 鉄道 発祥の地、英国 ダラム州 ニュートン・エイクリフ工場外に並ぶ 385形 ・ 800/803形 ・ 08 （入換機関車） 前身は、現在の 茨城県 日立市 にあった銅と硫化鉄鉱を産出する 久原鉱業所 日立鉱山 である。 日立鉱山を母体として 久原財閥 が誕生し、久原財閥の流れを受けて 日産コンツェルン が形成された。 また、日立鉱山で使用する機械の修理製造部門が、 1910年 に国産初の5馬力誘導電動機（モーター）を完成させて、日立製作所が設立された。 売上高9兆7287億円、営業利益7558億円、総従業員数32万2525人は、総合電機の中で最大であり、日本の全業種中でも トヨタ自動車 に次ぐ規模の従業員数を誇る巨大企業である。
- 定義と例
- 素因数分解の可能性・一意性
- 歴史
- 素数判定と素因数分解
- 分布
- 素数に関連する主な性質
- 素数生成式
- 特殊な形をした素数
- 未解決問題
- 応用
素数とは、自明な正の因数（1 と自分自身）以外に因数を持たない自然数であり、1でない数のことである。つまり、正の因数の個数が 2 である自然数である。 例えば、2 は、正の因数が 1, 2のみなので素数である。 素数でない 2 以上の自然数を合成数と呼ぶ。 合成数であることの判定法として、たとえば下記の4条件がある： 1. 4以上の偶数。（2で割り切れる） 2. 10以上で末尾が5か0の数。（5で割り切れる） 3. 6以上で、数字根が3, 6, 9となる数（3で割り切れる）。（20以上では、21, 27, 33, 39, 51, 57, 63, 69, 81, 87, 93, 99, …） 4. 一の位から見て奇数番目の位の数の和と、偶数番目の位の数の和との差が11の倍数であれば、11の倍数...
「2 以上の自然数は、素数の積で表せる。その表し方は積の順序を除けば一意である」という、素因数分解の可能性・一意性が成立する（算術の基本定理）。素因数分解の可能性から、素数全体の成す集合は、2以上の自然数全体の成す集合とその乗法からなる半群の最小[注釈 1]の生成系である。言い換えれば、これは「素数は自然数の構成要素である」などとなる。 素数の定義である「1 と自分自身でしか割り切れない」という条件（既約性）は、抽象代数学において、環の既約元の概念（一部の環では素元の概念と一致する）に抽象化され一般的に取り扱われる。一般の環で、任意の元は既約元の積に分解され、しかもその表示は一意であるという性質は稀有である。例えばネーター環では、任意の元は既約元分解が可能であるが、その表示が一意ではないネー...
紀元前1600年頃のエジプト第2中間期において、素数の初等的な性質が部分的に知られていたことが、リンド数学パピルスなどの資料によって示唆されている。例えば分数をエジプト式分数で表す場合、素数と合成数の場合で異なる計算をしなければならないからである。しかし、記録に残っている限りにおいて、明確に素数を研究対象としたのは古代ギリシア人が最初である。紀元前約300年頃に書かれたユークリッドの『原論』には素数が無数に存在することや、その他の素数の性質が証明されている。また、ユークリッドはメルセンヌ素数から完全数を構成する方法を示している。ギリシアの数学者、エラトステネスに因んで名付けられたエラトステネスの篩は、素数を列挙するための計算方法である。 古代ギリシア時代の後、17世紀になるまで素数の研究には...
与えられた自然数 n が素数であるか合成数であるかを判定するためのアルゴリズムが多数考案されている。最も素朴な方法は、2 から √n 以下の素数まで順番に割っていく、試し割り法と呼ばれる方法である。n が √n 以下の全ての素数で割り切れなければ n は素数である。試し割り法は、nが大きくなるに従って、急速に速度が低下するため、実用的ではない。任意の数に適用できる試し割り法よりも高速なアルゴリズムが考案されている。また、特殊な形をした数に対してはより高速なアルゴリズムも存在する。素数判定は、与えられた数が素数であるか否かだけを判定するものであるが、素因数分解とはより強く、与えられた数の全ての素因数を列挙することであるとも言える。 上記の通り2を除く偶数、2桁以上で末尾が5の数、数字和が3の倍...
ある自然数までにどのくらいの素数があるのかという問題は、基本的だが非常に難しい問題である。これに関して、次の素数定理は有名である。この定理は1896年に、アダマールとド・ラ・ヴァレ・プサンによって独立に証明された。 x 以下の素数の個数を π(x)（素数計数関数）とすると、 1. π ( x ) ∼ ∫ 2 x d t log t ∼ x log x ( x → ∞ ) {\displaystyle \pi (x)\sim \int _{2}^{x}{\frac {dt}{\log t}}\sim {\frac {x}{\log x}}\quad (x\to \infty )} が成り立つ。この定理は、1792年に15歳のカール・フリードリヒ・ガウスによって予想されていた（ガウスが最...
素数の逆数和
素数の逆数の和は（無限大に）発散する。この命題は『素数は無数に存在する』という命題を含んでいる（有限個ならば収束、すなわち発散しないはずである）が、それだけではなく素数の分布に関してより多くの情報を提供している。 この結果は最初にレオンハルト・オイラーによりゼータ関数を研究することでもたらされた。以下の証明はポール・エルデシュによる、より直接的で、また簡潔な証明である[注釈 7]。素数が無数に存在することを証明に用いないため、その証明をも含んでいる。 エルデシュによる証明 素数の逆数和は収束すると仮定する。i 番目の素数を piで表すと、 1. ∑ i = N + 1 ∞ 1 p i < 1 2 ⋯ ( 1 ) {\displaystyle \sum _{i=N+1}^{\infty }{\frac {1}{p_{i}}}<{\frac {1}{2}}\cdots (1)} を満たす Nが存在する。 n 以下の自然数のうち最大素因数が pN 以下のものからなる集合を An とする。任意の k ∈ Anに対して、 1. k = u2v（v の各素因数の指数は全て 1） と表示すると...
その他の性質
1. (a, m) = 1 のとき、等差数列：a, a + m, a + 2m, … には素数の項が無数に含まれている。（ディリクレの算術級数定理） 1. 1.1. ここで m = 10 とすると、十進表記において一の位が 1, 3, 7, 9である素数はどれも無数にあることが分かる。 1. 素数 p に対して、(a, p) = 1 ⇒ ap−1 ≡ 1 (mod p)（フェルマーの小定理） 2. p が素数 ⇔ (p − 1)! ≡ −1 (mod p)（ウィルソンの定理） 3. 素数の2乗差は 5 の倍数, 3 の倍数, 8の倍数のいずれかである。 1. 5 ( = 32 − 22), 16 ( = 52 − 32), 21 ( = 52 − 22), 24 ( = 72 − 52), 40 ( = 72 − 32), … 1. 約数の和が素数になる自然数は、2 と素数かその累乗数の平方数である。しかし、素数やその累乗数の自乗であっても約数の和が素数になるとは限らない。約数の和が素数になる数が無限にあるかどうかの証明はされていない（後述）。 2. 七進表記において、5以上の素...
n番目の素数を求める素数生成式は存在しないと主張されることがあるが、これは誤りである（ウィルソンの定理やミルズの定理（英語版）を用いたものが存在する）。しかしながら、そのような式で実効的に計算可能（英語版）なものは知られていない。 以下は1964年に Willans C.P. が報告したウィルソンの定理に基づく公式で、n番目の素数 pnを求めることができる： 1. p ( n ) = 1 + ∑ m = 1 2 n ⌊ n ∑ k = 1 m ⌊ cos 2 ( k − 1 ) ! + 1 k π ⌋ n ⌋ {\displaystyle p(n)=1+\textstyle \sum \limits _{m=1}^{2^{n}}\left\lfloor {\sqrt[{n}]{\dfra...
オイラー素数：n2 + n+ 41弱いゴールドバッハ予想：7 以上の全ての奇数は 3 つの素数の和で表すことができる、という予想。ただしハラルド・ヘルフゴットによる証明が2013年に発表されている。長い間、数論、その中でもとりわけ素数に関する研究は、その分野以外での応用の全くない純粋数学の見本と見なされていた。特に、イギリスの数論研究者であるハーディは、自身の研究が軍事的に何の重要性も持たないことを誇っていた。しかし、この見方は1970年代には覆されてしまった。素数が公開鍵暗号のアルゴリズムに使用できると広く知られるようになったためである。現在では素数はハッシュテーブルや擬似乱数生成にも用いられ、工学的応用上重要度の高いものとなっている。
クスノキ（楠[2]・樟[3]、学名: Cinnamomum camphora）とは、クスノキ科ニッケイ属の常緑高木である。別名クス。暖地に生え、古くから各地の神社などにも植えられて巨木になる個体が多い。材から樟脳が採れる香木として知られ、飛鳥時代には仏像の材に使われ ...
アオダイショウ. この項目では、ヘビの一種（学名 Elaphe climacophora ）について説明しています。 その他の用法については「 青大将 」をご覧ください。 アオダイショウ （青大将、黄頷蛇 [2] 、 学名: Elaphe climacophora ）は、 ナミヘビ科 ナメラ属 に分類される ヘビ 。 サトメグリ （里回り、サトマワリ） [3] 、 ネズミトリ （鼠取り、鼠捕り） [4] などの別名がある。 分布. 日本 （ 北海道 、 本州 、 四国 、 九州 、 国後島 、 奥尻島 、 佐渡島 、 口之島 （南限）、 伊豆諸島 、 壱岐 、 隠岐 、 対馬 、 五島列島 、 大隅諸島 ） 固有種 [5] [6] [7] [8] 形態.
概要. トヨタ生産方式 「 カンバン 」（ ジャストインタイム生産システム ）において、 自動車部品 工場 や 配送 センター等での利用を念頭に開発された。 しかし、 誤り検出訂正 の能力が高く、また、 オープンソース とされたことから、 トヨタ自動車 の サプライチェーン の範囲から飛び出して独り歩きを始め、現在 [いつ?] では 日本 に限らず世界に広く普及している。 例えば、発明時には民間において インターネット および スマートフォン が普及していなかったが、それらを用いる「 QR決済 」が現在 [いつ?] 、国によっては主要な 電子決済 の地位を占めるようになっており、発明から 四半世紀 経ってフィナンス・テクノロジー（ フィンテック ）を支える技術の1つとなっている。
ライラック（紫丁香花[注釈 1]、英語: Lilac、学名: Syringa vulgaris）はモクセイ科ハシドイ属の落葉低木。フランス語からリラ (Lilas) とも呼ばれる[3]。標準和名はムラサキハシドイ（紫丁香花[3]・洋丁香[3]）。ヨーロッパ南部原産[3]。中国名は歐丁香[1]。街路樹 ...
