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プベルル酸 （プベルルさん、 英: Puberulic acid ）または プベルリン酸 （プベルリンさん） は、 分子式 C. 8 H. 6 O. 6 で表される七員環 有機化合物 （ トロポロン 類、トロポノイド）である [3] 。. アオカビ 属により産生され、 グラム陽性菌 に対する殺菌作用 ...
- 歴史
- 計算の概要
- 解法例
- 拡張
1805年にアドリアン＝マリ・ルジャンドルが出版したのが初出である。しかし、1809年にカール・フリードリヒ・ガウスが出版した際に1795年には最小二乗法を考案済みだったと主張したことで、最小二乗法の発明者が誰であるかについては不明になっている。
前提条件
最小二乗法では測定データ y {\displaystyle y} はモデル関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} と誤差 ε {\displaystyle \varepsilon } の和で 1. y = f ( x ) + ε {\displaystyle y=f(x)+\varepsilon } と表せるとする。物理現象の測定データには、誤差が含まれ、それは系統誤差と偶然誤差を含んでいる。この内、偶然誤差は、測定における信号経路の微視的現象に由来するならば、正規分布であると期待されることが多い。また、社会調査などの誤差理由の特定が困難な場合でも誤差が正規分布になると期待する考え方もある。 誤差が正規分布に従わない場合、最小二乗法によって得られたモデル関数はもっともらしくないことに注意する必要がある。偶然誤差が正規分布していない場合、系統誤差が無視できない位大きくそれをモデル関数に含めていない場合、測定データに正規分布から大きく外れた外れ値を含む場合などが該当する。 上記を含め、最小二乗法の理論的基盤には次のような前提が設けられている。 1. 測定値の誤...
基礎的な考え方
話を簡単にするため、測定値は x , y {\displaystyle x,y} の二次元の平面に分布するものとし、想定される分布（モデル関数）が y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} の形である場合を述べる。想定している関数 f {\displaystyle f} は、既知の関数 g ( x ) {\displaystyle g(x)} の線型結合で表されていると仮定する。すなわち、 例えば、 g k ( x ) = x k − 1 {\displaystyle g_{k}(x)=x^{k-1}} は、多項式近似であり、特に m = 2 {\displaystyle m=2} の時は f ( x ) = a 1 + a 2 x {\displaystyle f(x)=a_{1}+a_{2}x} という直線による近似（線形回帰）になる。 今、測定で得られた、次のような数値の組の集合があるとする。 これら ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} の分布が、y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} と...
一次方程式の場合
さらに簡単な例として、モデル関数を1次関数とし、 1. f ( x ) = a x + b {\displaystyle f(x)=ax+b\,} とおくと、a , b {\displaystyle a,b} は次式で求められる。 1. a = n ∑ k = 1 n x k y k − ∑ k = 1 n x k ∑ k = 1 n y k n ∑ k = 1 n x k 2 − ( ∑ k = 1 n x k ) 2 {\displaystyle a={\frac {n\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}x_{k}y_{k}-\sum \limits _{k=1}^{n}x_{k}\sum \limits _{k=1}^{n}y_{k}}{n\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}{x_{k}}^{2}-\left(\sum \limits _{k=1}^{n}x_{k}\right)^{2}}}} 2. b = ∑ k = 1 n x k 2 ∑ k = 1 n y k − ∑ k = 1 n x k y k ∑...
当てはめたい関数 f {\displaystyle f} は、 と表すことができる。上付き添字 T は転置行列を表す。最小にすべき関数 J {\displaystyle J} は 1. J ( a ) = ( G a − y ) T ( G a − y ) = ( [ G y ] [ a − 1 ] ) T ( [ G y ] [ a − 1 ] ) {\displaystyle {\begin{aligned}J({\boldsymbol {a}})&=(G{\boldsymbol {a}}-{\boldsymbol {y}})^{\textrm {T}}\,(G{\boldsymbol {a}}-{\boldsymbol {y}})\\&=\left({\begin{bmatrix}G&...
多次元
想定される分布が媒介変数 t を用いて ( x , y ) = ( f ( t ) , g ( t ) ) {\displaystyle (x,y)=(f(t),g(t))} の形（あるいは f , g {\displaystyle f,g} は複数の媒介変数によって決まるとしても同様）であっても考察される。 すなわち、測定値 ( x i , y i ) {\displaystyle (x_{i},y_{i})} がパラメータ t i {\displaystyle t_{i}} に対する ( f ( t i ) , g ( t i ) ) {\displaystyle (f(t_{i}),g(t_{i}))} を理論値として近似されているものと考えるのである。 この場合、各点の理論値 ( f ( t i ) , g ( t i ) ) {\displaystyle (f(t_{i}),g(t_{i}))} と測定値 ( x i , y i ) {\displaystyle (x_{i},y_{i})} の間に生じる残差は である。故に、残差平方和は となるから、この値が最小である...
測定の誤差が既知の場合
n {\displaystyle n} 回の測定における誤差があらかじめ分かっている場合を考える。異なる測定方法で測定した複数のデータ列を結合する場合などでは、測定ごとに誤差が異なることはしばしばある。誤差が正規分布していると考え、その標準偏差 σ i ( i = 1 , 2 , … , n ) {\displaystyle \sigma _{i}(i=1,2,\ldots ,n)} で、誤差の大きさを表す。すると、誤差が大きい測定より、誤差が小さい測定の結果により重みをつけて近似関数を与えるべきであるから、 を、最小にするように fを定める方がより正確な近似を与える。 毎回の測定が独立ならば、測定値の尤度は e x p ( − J ′ ) {\displaystyle exp(-J')} に比例する。そこで、上記の J ′ {\displaystyle J'} を最小にする f {\displaystyle f} は、最尤推定値であるとも解釈できる。また、J ′ {\displaystyle J'} は自由度 n − m {\displaystyle n-m} のカイ二乗分布に...
非線形最小二乗法
もし、f {\displaystyle f} が、a k {\displaystyle a_{k}} の線型結合で表されないときは、正規方程式を用いた解法は使えず、反復解法を用いて数値的に a k {\displaystyle a_{k}} の近似値を求める必要がある。例えば、ガウス・ニュートン法やレーベンバーグ・マーカート法が用いられる。とくにレーベンバーグ・マーカート法（英: Levenberg-Marquardt Method）は多くの多次元非線形関数でパラメータを発散させずに効率よく収束させる（探索する）方法として知られている。
呼吸不全 は、「動脈 血ガス が異常な値を示し、それがために生体が正常な機能を営みえない状態」と定義される。. 具体的には「室内気吸入時の動脈血酸素分圧（PaO 2 ）が60Torr以下となる呼吸器系の機能障害、またはそれに相当する異常状態」を指し ...
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単位の換算一覧 （たんいのかんさん いちらん）は、さまざまな 単位 を相互に換算するための一覧 [1] 。. 単位の換算 、 国際単位系 、 SI組立単位 、 CGS単位系 、 尺貫法 、 ヤード・ポンド法 、 度量衡 、 計量単位一覧 、 次元解析 、 SI接頭語 なども参照の ...
越前守任官に関する逸話. 藤原為時は 長徳 2年（ 996年 ）正月25日の除目で 淡路守 に任ぜられたが、3日後の28日に 右大臣 ・ 藤原道長 が参内して、俄に越前守に任ぜられたばかりの 源国盛 を停めて、藤原為時を淡路守から越前守に変更した [2] 。. 下国で ...
