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微積分基本定理 （英語： Fundamental theorem of calculus ）描述了 微積分 的兩個主要運算── 微分 和 積分 之間的關係。 定理的第一部分，稱為 微積分第一基本定理 ，此定理表明：給定任一連續函數，可以（利用積分）構造出該函數的反導函數。 這一部分定理的重要之處在於它保證了 連續函數 的 反導函數 的存在性。 定理的第二部分，稱為 微積分第二基本定理 或 牛頓-萊布尼茨公式 ，表明某函數的 定積分 可以用該函數的任意一個反導函數來計算。 這一部分是微積分或數學分析中相當關鍵且應用很廣的一個定理，因為它大大簡化了定積分的計算。 [1] 該定理的一個特殊形式，首先由 詹姆斯·格里高利 （1638-1675）證明和出版。
微積分基本定理之所以被稱為基本定理,這個定理的重要性在於它連結了微分學跟積分學,並且給出了微分與積分之間明確的關係。 微積分基本定理分成兩個部分。 其中的第一個部分,是處理類似這樣的函數. 其中f(x) 是定義在[a, b] 上的連續函數,x 是在[a, b] 之間的變數。 考慮到給定任意在[a, b] 之間的數x ,上述的積分便可以算出一個值指定給g(x) ,因此這樣的形式的確是一個函數。 先考慮f(x) 是正值函數,此時g(x) 也就代表著f(x) 圖形底下從a 到x 的面積。 很自然的可以想像g(x) 的數值是隨著x連續變動的。 圖一. 考慮f(x) 如圖二,定義試求g(0), g(1), g(2), g(3), g(4), g(5) 的值,接著刻劃g(x) 的值。 圖二.
單元 32: 微積分基本定理. 基 本 定 �. 本 課 ( §6.4) 理 定 (FTC). 設 f. 在 [a, b] 上連續且F. f 為 的任一反導函數. ( 不定積分), 即. 0(x) = f (x). 則. b表成b. dx. = F (x) a. 1. 例 設. 為. (x) = x. 在 [1, 3] 上 所 圍 出 的 區 域 ,則根據定積分的幾何意義及微積分基本定理, 的面積. = 3. xdx. 1 3. = 1. 9. = + C. 2 C + 2 x 1. 1 9. + − = −. 2. = 4. 2 2. . 註 因為可消掉積分常數. C, 為方便計, , 時 分 積 定 求 可. 略 忽 C. , 外 此 因為. R 為一梯形, 根 據 公 式 ,
微積分基本定理. 在上一節裡，我們介紹的定積分的意義。 也發現每次求定積分的值，如果都由分割、選點、求和、取極限四步驟完成，確實非常的困難。 因而本節的目的即是要介紹利用不定積分來求定積分的方法，亦即所謂的「微積分基本定理」。 此定理使許多有關求積分的問題得以迎刃而解。 更重要的是它建立微分與積分的關係，由此關係可看出，微分與積分是兩個互為可逆的運算，如平方與開方。 接下來，我們先要介紹積分均值定理，我們將利用它來證明微積分基本定理。 定理 2.1. (積分均值定理) 若函數 f (x)在區間[a,b]上連續，則我們在a與b間至少可以找到一個數c，使得＝f (c) (b－a) 證明： 因為f (x)在區間[a,b]上連續，則由前述定理可知，必存在c1,c2 [a,b]，使得.
微積分基本定理 . 單維彰‧ 2013 年4月 . 積分和定積分。不定積分 f ( x ) dx的積分符. b. 出來一個函數。定積分的符號形式是 f ( x ) dx,讀作「f ( x )對x 從a 到b的積. a. ,做出來一個數。它的意義是,對每一個介於a 與b 之間的數x做出函數值與微量的乘積f ( x ) dx,把所有這些(無窮多個)量加起來,得�. 一個「總數」。 dy回�. 自由落體問題。若已知f ( x ) 是當時間為x�. 為x 時的高度。則F '( x ) dy f ( x ),可見F ( x )是f ( x )的�. 個反dx導函數。在此意義之下,f ( x ) dx是當時的速度乘以一滴滴的時間,也就是一滴滴的位移(下落.
牛頓-萊布尼茲公式（Newton-Leibniz formula），通常也被稱為微積分基本定理，揭示了 定積分 與被積函式的原函式或者 不定積分 之間的聯繫。. 牛頓-萊布尼茨公式的內容是一個 連續函式 在區間 [ a，b ] 上的 定積分 等於它的任意一個 原函式 在區間 [ a，b ]上的增量 ...
微積分基本定理的要義，是「求積是求變化率的反運算」；換句話說，經由微分學的系統化發展，許多求積問題經由求變化率的技術，變成遠較各式窮盡法簡單的一種方法，而且可應用的對象更為廣泛。
