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在這一節我們要計算常數函數、冪函數、多項式以及指數函數的微分。 先從最簡單的常數函數開始,考慮f(x) = c 。 其函數圖形y = c 即右圖的水平線,顯然其切線斜率均為0 ,因此有f’(x) = 0 。 y = c 的圖形,其斜率處處均為0. 圖一. 多項式與指數函數的微分. 嚴格的證明我們可以從導數的定義來計算: 用萊布尼茲的符號寫下: 冪函數. 接著我們看冪函數的導數。 假設f(x) = xn ,其中n 為正整數. 當n = 1 時,f(x) = x 的函數圖形就正好是斜率為1的直線,如下圖二: y = x 的圖,是斜率為1的直線,因此可以知道f’(x) = 1. 圖二. 因此我們有. 當然我們從定義也可以得到同樣的結果。 利用定義我們可以簡單計算x2 跟x3的結果:
%ÈÍ , 100}(:¯`ç ç ˇ) Àj 26: Nbƒbí } 單元 26: 指數函數的微分 ({… 5.4)欲}析ÖNbƒbDúbƒbíbç模型, Ûê |l NbƒbDúbƒbíûƒbíd†. íl, Nbƒbí }d†. AÍNbíûƒbÑ d dx (ex) = ex <„> I f(x) = ex. 根Wûƒbíì2, Nb J£ ”Ìí4”, f0(x) = lim h→0 f(x + h) − f(x) h = lim h→0 ex+h − ex h = lim h→0 ex(eh − 1)
等號兩邊微分 \(\frac{1}{y}y' = \ln a\) ， \(y' = y\ln a\) ，將 \(y = {a^x}\) 代入得 \(y' = {a^x}\ln a\) (2) 指數法 \(y = {a^x}\) ，利用還原定理(第六單元Part 7)，
自然對數與一般指數函數的微分 . 單維彰‧ 2014 年4月 . 我們現在知道標準指數ex有個超級簡單的微分公式: [ e x ] ex. 1. 但是那又怎樣?天下有那麼多指數函數,有2x 、3x. 、10x 、 (1.03)x 、 (0.98)x 、( ) x ... 分公式,�. a . x ( e k ) x ekx. a x都可以換成標準指數函數ekx。用微分連鎖律. [ kx ] e kx ke. kx. ka. x. 分,都是某個常數乘以它自己。 以前學過對任意正數a 1,方程式10x a�. y 10x和水平線y a有唯一交點,交點的x 坐標就是a 的對數,記作log a 。
財金系微積分(96 學年度) 單元 25: 自然指數函數 由此得水平漸近線 y = a 表示在長期的演變下, 族群的大小會愈來愈接近 a , 並以 a 為一上界, 故為限制型成長, 以及 lim t !1 f ( t ) = a 1 + be 1 = a 1 = 0 由此得水平漸近線 y = 0 表示回溯至無限遠的起源時, 族群大小
自然對數的圖形與微分 . 單維彰‧ 2014 年4月 . 在這一支影片裡,我們說明自然對數ln x的函數圖形,以及它的微分公式。 首先,令函數y ln x,等價的意義就是x ey。 我們知道y ex的圖形,當橫軸表示x ,縱軸表示y ,注意e x的值全是正數,所以y ex的圖形只畫在第一和二象限。 圖一:y ex的圖形,x 為橫軸,y為縱軸. 那x ey的圖形是什麼呢?其實只要把自變數的符號從x 換成y,同時把應變數符號從y 換成x而已。 所以,其實是同一條函數曲線,只是換符號而已。 但是剛才知道x ey就是y ln x的意思,所以現在大家看到的這條曲線,其實就是滿足y ln x的所有點 (x, y) 聚集而成的曲線,它就是y ln x的圖形。
PART 10：指數與對數微分公式彙整 1. \({({e^x})^\prime } = {e^x}\) 搭配連鎖律 \({({e^{f(x)}})^\prime } = {e^{^{f(x)}}}f'(x)\) 2. \({(\ln x)^\prime } = \frac{1}{x}\) ， \(x > 0\) 搭配連鎖律 \(\ln (f(x)) = \frac{{f'(x)}}{{f(x)}}\) ， \(f(x) > 0\) 3. \({({a^x})^\prime } = {a^x}\ln a
我們想用隱函數微分法計算更多函數的導數,其中一個例子便是利用對數函數y = logax ,尤其是自然對數,y = ln x 。 當然我們可能要先問:對數函數是否可微分?直觀上,對數函數是指數的反函數,其圖形看起來也滿足每一點都可以做切線逼近。 於是在實際證明之前,我們先把對數函數當作可微分的,其微分如後所述。 圖十二. 對數函數的導數. 利用連鎖率,我們可以推廣這個公式: 或. 範例二. 試求ln(sin x). 解: 利用連鎖率,我們有. 對數微分法. 如果目標函數是由複雜的項相乘除所組成,此時使用微分乘積公式會多出很多項。 這個時候我們便可以考慮利用對數將乘積拆開變成加總。
影片：2-6-3 自然指數函數的微分，數學 > 大學先修 > 微積分 > 逢甲大學微積分課程 > 逢甲大學微積分課程-第二章 導數。 源自於：均一教育平台 - 願 每個孩子都成為終身學習者，成就自己的未來。
等號兩邊微分 \(\frac{1}{y}y' = \ln a\) ， \(y' = y\ln a\) ，將 \(y = {a^x}\) 代入得 \(y' = {a^x}\ln a\) (2) 指數法 \(y = {a^x}\) ，利用還原定理(第六單元Part 7)，
