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乘法微分法則. 給定f, g 可微函數,則. 對兩個函數fg 相乘微分,即先對f 微分乘上g 加上f 乘上g的微分。 給定f(x) = xex ,求f (x). 求n 階導數f(n)(x). 解: (a) 利用微分法則,我們可以直接計算: / 解. cont’d. (b) 先算二階導數,再利用一次乘法微分法則:
數學上，分數微積分（fractional calculus）是數學分析的一個分支，它研究微分算子 = 和積分算子J的實數次冪的可能應用（通常不寫作I,以避免和其他I形符號產生混淆）。
多項式與指數函數的微分. 在這一節我們要計算常數函數、冪函數、多項式以及指數函數的微分。 先從最簡單的常數函數開始,考慮f(x) = c 。 其函數圖形y = c 即右圖的水平線,顯然其切線斜率均為0 ,因此有f’(x) = 0 。 y = c 的圖形,其斜率處處均為0. 圖一. 多項式與指數函數的微分. 嚴格的證明我們可以從導數的定義來計算: 用萊布尼茲的符號寫下: 冪函數. 接著我們看冪函數的導數。 假設f(x) = xn ,其中n 為正整數. 當n = 1 時,f(x) = x 的函數圖形就正好是斜率為1的直線,如下圖二: y = x 的圖,是斜率為1的直線,因此可以知道f’(x) = 1. 圖二. 因此我們有. 當然我們從定義也可以得到同樣的結果。
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数学 上， 分數微積分（fractional calculus） 是 数学分析 的一个分支，它研究 微分算子 和积分算子 J 的 实数 次幂的可能应用（通常不写作 I,以避免和其他 I 形符号产生混淆）。 在这个上下文中， 幂 指反复应用，和. 中的平方意义相同。 例如，可以提出如何解释如下符号的问题. 作为微分 算子 的平方根（半次操作），也就是一种算子操作两次以后可以有 微分 的效果。 更一般的， 对于实数值的 n，使得当 n 为整数时，若 n>0,它等同于通常的幂 n 次操作，当 n <0,它等同于n次积分 J。 讨论这个问题有几个原因。 一个是，这样幂 Dn 组成的 半群 可以看作一个 连续 的半群中取 离散 值的部分。 连续半群在数学上有很好的研究，有一个有趣的理论。
(3) 導出微分的四則運算和合成運算的公式。(4) 三角函數, 反三角函數與指數, 對數, 雙曲函數的微分。(5) 隱函數微分。(6) 微分應用, 包括變化率、 相對速率及線性估計。3.1 切線(Tangents) 定義 3.1.1. (1) 曲線y = f(x) 在點P(a,b) 之斜率 (slope) 為 m = lim h!0 f(a+h)
数学 上， 分數微積分（fractional calculus） 是 数学分析 的一个分支，它研究 微分算子 和积分算子 J 的 实数 次幂的可能应用（通常不写作 I ,以避免和其他 I 形符号产生混淆）。 在这个上下文中， 幂 指反复应用，和. 中的平方意义相同。 例如，可以提出如何解释如下符号的问题. 作为微分 算子 的平方根（半次操作），也就是一种算子操作两次以后可以有 微分 的效果。 更一般的， 对于实数值的 n ，使得当 n 为整数时，若 n >0,它等同于通常的幂 n 次操作，当 n <0,它等同于n次积分 J 。 讨论这个问题有几个原因。 一个是，这样幂 Dn 组成的 半群 可以看作一个 连续 的半群中取 离散 值的部分。 连续半群在数学上有很好的研究，有一个有趣的理论。
將分子的每一項改寫成 cx n 的形式後, 再逐項微分, 而避 開較複雜的除法規則 , 亦即 , 將分子與分母的常數提出後 , 再根據分配律 , 得
%ÈÍ , 100}(:¯`ç ç ˇ) Àj 11: }í!…d† 單元 11: 微分的基本規則 ({… 3.1) 函b f íû函b f0 í¬˙Ñl ¾Ï¼í”Ì, 即 f0(x) = lim h→0 f(x + h) − f(x) h O¤¬˙% uõ瑣í,]Ûâ¤!…ì2Rû|ø<j Zkl 函bíû函bíd†, 1J¯U d dx [f(x)] 讀T d, dx of f of x [ý f ú x Ê x íû函b (the derivative of f with respect to x at x), /˚¤¬˙Ñ } ...
分数阶微积分是任意实数阶或复数阶微分及积分理论的发展. 它将经典微积分的基本运算扩展到分数阶，研究涉及这些分数阶导数和积分的微分方程的求解方法 [1]. 分数阶微积分不仅仅是一个纯粹的数学理论. 这一分支在扩散问题、流体动力学、控制理论、信号 ...
