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對數. [編輯] 15世紀時，法國數學家 尼古拉·丘凱 （英語：Nicolas Chuquet） 和德國數學家 米夏埃爾·施蒂費爾 （英語：Michael Stifel） 在開展研究工作時產生了發展對數的思想，他們，尤其是後者，對等差數列和 等比數列 的關係作了一些研究。 但他們並沒有使其得到更進一步的發展。 [1] 一般認為對數於16世紀末至17世紀初期間由蘇格蘭數學家 約翰·納皮爾 男爵和瑞士工程師 約斯特·比爾吉 發明。 比爾吉曾擔任過著名天文學家 克卜勒 的助手，因此會經常接觸到複雜的天文計算，他也因此產生了化簡數值計算的想法。 [註 3] 納皮爾是一位蘇格蘭貴族，對數值的計算有很深的研究。 為了找到簡化 球面三角 計算的方法，他也產生了發展對數的想法。
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- 基礎知識
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據說物理學家伽利略·伽利萊曾說過一句不負責任的話：「給我時間、空間和對數，我可以創造一個宇宙。」很難想像如果他成為了造物主，會不會胡亂創造出很多宇宙。 對數產生於對大數乘除法結果的快速估算，可以將乘除法化為加減法進行估算。例如計算2個很大的數a和b的近似乘積，可以先通過專門的對數表查出它們各自對應的對數值log ( a ) {\displaystyle \log(a)} 和log ( b ) {\displaystyle \log(b)} ，將它們直接相加後，再從表中查詢與相加結果對應的數即可。對數表一般是按對數運算特點提前製作好的對照表，後來還流行過更方便的計算尺。著名的原子物理學家恩里科·費米就是習慣使用計算尺。時至今日，不管是在考試還是在實際應用中，對數的主要用途仍然是在代數運...
定義
由對數的這個定義可知： 1. 符號log a N {\displaystyle \log _{a}N} 表示有多少個a連續相乘會等於N，或者說a的多少次冪會等於N。 2. 沒有以零或以負數為真數N的對數，或者說它們不能作為合法的真數，對它們無法施加取對數值的運算。因為高中學習的是實變量的函數，由a > 0 , b ∈ R {\displaystyle a>0,b\in \mathbb {R} } 可知一定有a b > 0 {\displaystyle a^{b}>0} ，所以在實數範圍並不存在使得真數取零或取負數值的情形。 3. log a 1 = 0 , log a a = 1 ( a > 0 , a ≠ 1 ) {\displaystyle \log _{a}1=0,\log _{a}a=1\quad (a>0,a\neq 1)} 提示：(1)符號「l o g {\displaystyle log} 」是對數原名「logarithm」的縮寫，後來約翰內斯·克卜勒將其簡化為「log」。「logarithm」是個拉丁文合成詞，是希臘文「lógos」（比例）和「arit...
運算規律
幾個最常用的對數運算律（假定a , c ∈ ( 0 , 1 ) ∪ ( 1 , + ∞ ) , M > 0 , N > 0 {\displaystyle a,c\in (0,1)\cup (1,+\infty ),M>0,N>0} ）： 1. 和差關係：log a M N = log a M + log a N {\displaystyle \log _{a}MN=\log _{a}M+\log _{a}N} ，log a M N = log a M − log a N {\displaystyle \log _{a}{\frac {M}{N}}=\log _{a}M-\log _{a}N} 證明：設M = b m {\displaystyle M=b^{m}} ，N = b n {\displaystyle N=b^{n}} 。 積化和：log a M N = log a b m b n = log a b m + n = ( m + n ) log a b = m log a b + n log a b = log a b...
對數的原始定義
對數最初是使用幾何方式定義的。
已知a、b、c是三角形ABC的3條邊，且關於x的二次方程x 2 − 2 x + lg ( c 2 − b 2 ) − 2 lg a + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}-2x+\lg(c^{2}-b^{2})-2\lg a+1=0} 有2個相等的實數根，則此三角形的形狀是( )。
對數式(logarithmic expression)是一類特殊的解析式,指含有對未知數進行對數運算的解析式,如log2(x2-1),logax+b都是關於x的對數式,簡稱對數式。 對數 變換 如果a(a>0,且a≠1)的b次冪等於N,即ab=N,那么數b叫做以a為底N的 對數 ,記作logaN=b(其中a叫做 對數 的底數,N叫做真數),這 ...
對數函數是，那麼可以將 稱作以 為底N的對數，記作 = 指數函數的反函數。 也就是 x = y a {\displaystyle x=y^{a}} 。 可是用多項式、三角函數、指數函數都沒有辦法表示這個函數。
對數規則和屬性： 對數乘積規則. x和y相乘的對數是x和y的對數之和。 log b （ x∙y ）= log b （ x ） + log b （ y ） 例如： 日誌 b （3 ∙ 7）=日誌 b （3） + 日誌 b （7） 乘積規則可用於使用加法運算的快速乘法計算。 x乘以y的乘積是log b （ x ）和log b （ y ）之和的反對數： x∙y = log -1 （log b （ x ） + log b （ y ）） 對數商法則. x和y的對數是x和y的對數之差。 日誌 b （ X / Y ）=日誌 b （ X ） - 日誌 b （ Ý ） 例如： 日誌 b （3 / 7）=日誌 b （3） - 日誌 b （7） 商規則可用於使用減法運算的快速除法計算。
標準對數，也稱常用對數（英語： Common logarithm [註 1] ）在數學是以10為底數的對數函數，其逆函數是以10作基數的指數函數。 底為10的對數表達式以log 10 (x)表示，有時以英文大寫字母L表示Log(x) [註 2]。
對數公式是數學中的一種常見公式，如果a^x=N(a>0,且a≠1)，則x叫做以a為底N的對數,記做x=log(a)(N)，其中a要寫於log右下。 其中a叫做對數的底，N叫做真數。
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