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多項式與指數函數的微分. 嚴格的證明我們可以從導數的定義來計算: 用萊布尼茲的符號寫下: 冪函數. 接著我們看冪函數的導數。 假設f(x) = xn ,其中n 為正整數. 當n = 1 時,f(x) = x 的函數圖形就正好是斜率為1的直線,如下圖二: y = x 的圖,是斜率為1的直線,因此可以知道f’(x) = 1. 圖二. 因此我們有. 當然我們從定義也可以得到同樣的結果。 利用定義我們可以簡單計算x2 跟x3的結果: 對更高次的情況,n = 4 時,計算稍為複雜一點: 因此. 綜合以上的結果,直覺上我們可以猜測,當n 為正整數時,我們有: [ 冪函數的微分公式] 給定n為一正整數,則. 給定f(x) = x6 ,則f (x) = 6x5 。
廣義冪次法則可針對函數的次方求導函數, 而不僅只 是自變數的次方, 故是冪次法則的推廣, 而稱為廣義冪次 法則. 使用廣義冪次法則時, 除了對次方處理外, 一定要 記得乘上因著連鎖法則而產生的 u 0 ( x ), 亦即, d dx [ u ( x )] n = n [ u ( x )] n 1 u 0 ( x ) 例1. 試求.
%ÈÍ , 100}(:¯`ç ç ˇ) Àj 26: Nbƒbí } 單元 26: 指數函數的微分 ({… 5.4)欲}析ÖNbƒbDúbƒbíbç模型, Ûê |l NbƒbDúbƒbíûƒbíd†. íl, Nbƒbí }d†. AÍNbíûƒbÑ d dx (ex) = ex <„> I f(x) = ex. 根Wûƒbíì2, Nb J£ ”Ìí4”, f0(x) = lim h→0 f(x + h) − f(x) h = lim h→0 ex+h − ex h = lim h→0 ex(eh − 1)
等號兩邊微分 \(\frac{1}{y}y' = \ln a\) ， \(y' = y\ln a\) ，將 \(y = {a^x}\) 代入得 \(y' = {a^x}\ln a\) (2) 指數法 \(y = {a^x}\) ，利用還原定理(第六單元Part 7)，
(3) 導出微分的四則運算和合成運算的公式。(4) 三角函數, 反三角函數與指數, 對數, 雙曲函數的微分。(5) 隱函數微分。(6) 微分應用, 包括變化率、 相對速率及線性估計。3.1 切線(Tangents) 定義 3.1.1. (1) 曲線y = f(x) 在點P(a,b) 之斜率 (slope) 為 m = lim h!0 f(a+h)
函數的微分 （英語： Differential of a function）是指對 函數 的局部變化的一種線性描述。 微分可以近似地描述當函數自變量的取值作足夠小的改變時，函數的值是怎樣改變的。 微分在數學中的定義：由 是 的函數 ( )。 從簡單的平面直角坐標系來看，自變量 的變化量趨近於0時 ( )，因變量 的變化量也趨近於0，但 和 的變化量都趨近於0。 當 有極小的變化量時，這稱為 的微分。 當某些函數 的自變量 有一個微小的改變 時，函數的變化可以分解為兩個部分。 一個部分是 線性 部分：在一維情況下，它 正比 於自變量的變化量 ，可以表示成 和一個與 無關，只與函數 及 有關的量的乘積；在更廣泛的情況下，它是一個 線性映射 作用在 上的值。
取對數簡化微分的步驟： 對具有複雜乘積的函數表示式，兩邊同取對數，簡化成各項相加。對等式做隱函數微分 移項解得y‘ 再一個實際的例子是，對數微分法可以幫助我們處理任 意實數指數函數的微分： 冪函數微分 給定n 為任意實數，且f(x) = xn ，則
