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，亦稱 自然常數 、 自然底數，或是 尤拉數 （Euler's number），是 無理數 的 數學常數，以瑞士數學家 尤拉 命名；還有個較少見的名字 納皮爾常數，用來紀念 蘇格蘭 數學家 約翰·納皮爾 引進 對數。 它是一個無限不循環小數，數值約是（小數點後20位， A001113）： ，近似值為 。 有許多的函數都和 有關： 自然對數函數 的 底數 即為 ，數學中的 指數函數 也常是指以 為底數的指數函數。 歷史. [編輯] 約翰·納皮爾於1618年出版的 對數 著作附錄中的一張表中第一次提到 常數 ，但它沒有記錄這 常數，只有由它為底計算出的一張自然對數列表，通常認為這是由 威廉·奧特雷德 製作的。 第一次把 看為常數的是 雅各布·伯努利，他嘗試計算下式的值：
自然對數 （英語： Natural logarithm）為以數學常數 e 為 底數 的 對數函數，標記作 或 ，其 反函數 為 指數函數 。 [註 1] 自然對數積分定義為對任何正 實數 ，由 到 所圍成， 曲線下的面積。 如果 小於1，則計算面積為負數。 則定義為唯一的實數 使得 。 自然對數一般表示為 ，數學中亦有以 表示自然對數。 [1][註 2] 歷史. [編輯] 十七世紀. [編輯] 雙曲線扇形 是 笛卡兒平面 上的一個區域，由從原點到 和 的射線，以及 雙曲線 圍成。 在標準位置的雙曲線扇形有 且 ，它的面積為 [2]，此時雙曲線扇形對應正 雙曲角。 當直角雙曲線下的兩段面積相等時， 的值呈 等比數列， ， 的值也呈等比數列， 。
尤拉公式 （英語： Euler's formula，又稱 歐拉公式）是 複分析 領域的公式，它將 三角函數 與 複指數函數 關聯起來，因其提出者 萊昂哈德·尤拉 而得名。 尤拉公式提出，對任意 實數 ，都存在. 其中 是 自然對數的底數， 是 虛數單位，而 和 則是 餘弦 、 正弦 對應的 三角函數，參數 則以 弧度 為單位 [1]。 這一複數指數函數有時還寫作 cis x （英語： cosine plus i sine，餘弦加 i 乘以正弦）。 由於該公式在 為 複數 時仍然成立，所以也有人將這一更通用的版本稱為尤拉公式 [2]。 尤拉公式在數學、物理和工程領域應用廣泛。 物理學家 理察·費曼 將尤拉公式稱為：「我們的珍寶」和「數學中最非凡的公式」 [3]。
自然指數e，為自然對數的底數，有時亦稱之為歐拉數（Euler's Number），是一個無限不循環小數，其值約為：2.71828182845904523536 e在高等數學中非常重要，指數函數y=e^x是一個比較特殊的指數,它的導函數就等於它本身，由此延伸出去,數學科學的眾多理論中，e都尤其 ...
自然常數，符號e，為數學中一個常數，是一個無限不循環小數，且為超越數，其值約為2.718281828459045。 它是 自然對數 函式的 底數 。 有時稱它為 歐拉數 （Euler number），以 瑞士 數學家 歐拉 命名；也有個較鮮見的名字納皮爾常數，以紀念 蘇格蘭 數學家 約翰 ...
係自然指數同埋自然對數函數嘅底數。 有時又叫做 自然底數 或 歐拉數 （ Euler's number ），個名來自瑞士數學家 歐拉 ；佢嘅數值大約係（小數點後20位）：
當 \lim_{h\rightarrow0} \frac{a^h-1}{h} = 1 時， a^x 的微分就完全等於它自身，所以這樣的底數最「自然」，以 e 表示。 所以就有這樣的定義： \lim_{h\rightarrow0} \frac{e^h-1}{h} := 1
e，作為數學常數，是自然對數函式的 底數。 有時稱它為 歐拉數 （Euler number），以 瑞士 數學家 歐拉 命名；也有個較鮮見的名字 納皮爾常數，以紀念 蘇格蘭 數學家 約翰·納皮爾 （John Napier）引進對數。 它就像 圓周率 π和 虛數 單位i，e是數學中最重要的 常數 之一。 它的其中一個定義是，其數值約為（小數點後100位）：“e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274”。 在1690年， 萊布尼茨 在信中第一次提到常數e。
因為底數 e > 1, 故圖形如下, 得自然指數函數為一定義 域為 ( 1 ; 1 ), 值域為 (0 ; 1 ) ; 經過 (0,1) 的遞增 , 上凹 , 一對一 , 連續的函數 , 且
單元 25: 自然指數函數 ({… 4.2) ø. ì2 JÌÜb e def = lim x→0 (1 + x)1/x ≈ 2.71828182846··· Ñ bíNbƒb f(x) def = ex ˚TAÍNbƒb (natural exponential function). ù. Ç$ ÄÑ b e > 1,]Ç$à-,)AÍNbƒbÑøì2 域Ñ (−∞,∞), M域Ñ (0,∞), %¬ (0,1) í遞Ó,,凹, øúø, ©/íƒb, / lim x→∞ ex = e
