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正確的公式是由萊布尼茲所提出,一般稱為萊布尼茲法則(Leibniz’s rule) 或乘法的微分法則(product rule) 。 在實際介紹前,我們來看一下此法則直觀的意義:假設u = f (x) 與v = g(x)均為正可微函數。 此時我們可以將uv視為一個矩形的面積,如下圖: 相乘函數的值便是(u + u)(v + v) ,在其值為正時,我們剛好可以用前面圖一的矩形面積來表示。 ( 注意到由於f 為連續,因此增量 u 0 當 x 0。 另外雖然我們是從矩形面積開始考慮,但不管u, v或者他們的增量符號為何,這個代數運算都是正確的。 對兩個函數fg 相乘微分,即先對f 微分乘上g 加上f 乘上g的微分。 給定f(x) = xex ,求f (x).
在上一個章節中，我們介紹了 微積分的意義，在這個章節裡，我們將會列舉出一些常見的微分與積分公式。 以下數學式中， x x 表示變數， n n 與 a a 表示常數，而 f (x) f (x) 與 g (x) g(x) 則表示 x x 的函數。 而為了讓公式看起來不要太過複雜，在這個章節裡我們將會使用「\prime ′」符號來表示微分，例如： (f (x))^\prime (f (x))′ 就代表 f (x) f (x) 的微分，即 df (x)/dx df (x)/dx。 微分式的加減可以直接分開： (f (x)+g (x))^\prime = f^\prime (x)+g^\prime (x) (f (x)+g(x))′=f ′(x)+g′(x) 係數（必須是常數）則可以提出式子外：
在這一節我們要計算常數函數、冪函數、多項式以及指數函數的微分。 先從最簡單的常數函數開始,考慮f(x) = c 。 其函數圖形y = c 即右圖的水平線,顯然其切線斜率均為0 ,因此有f’(x) = 0 。 接著我們看冪函數的導數。 假設f(x) = xn ,其中n 為正整數. 當然我們從定義也可以得到同樣的結果。 給定f(x) = x6 ,則f (x) = 6x5 。 若y = x1000 ,則y = 1000x999 。 ,則 t4 = y 若 (c) = 4t3 。 更一般的狀況,我們可以推廣到任意實數的版本。 有了這些公式以後,我們在求導數時便不用再重新利用定義去計算。 甚至可以反過來利用公式求切線,或者再更進一步求得法線. (normal lines) 。
經濟系微積分(98 學年度) 單元 11: 乘法與除法規則 (c) 因為分母只有一項 , 故一個簡單的作法是根據分配律 , 將分子的每一項改寫成 cx n 的形式後 , 再逐項微分 , 而避
函數的微分 （英語： Differential of a function）是指對 函數 的局部變化的一種線性描述。 微分可以近似地描述當函數自變量的取值作足夠小的改變時，函數的值是怎樣改變的。 微分在數學中的定義：由 是 的函數 ( )。 從簡單的平面直角坐標系來看，自變量 的變化量趨近於0時 ( )，因變量 的變化量也趨近於0，但 和 的變化量都趨近於0。 當 有極小的變化量時，這稱為 的微分。 當某些函數 的自變量 有一個微小的改變 時，函數的變化可以分解為兩個部分。 一個部分是 線性 部分：在一維情況下，它 正比 於自變量的變化量 ，可以表示成 和一個與 無關，只與函數 及 有關的量的乘積；在更廣泛的情況下，它是一個 線性映射 作用在 上的值。
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數學 上， 分數微積分（fractional calculus） 是 數學分析 的一個分支，它研究 微分算子 和積分算子 J 的 實數 次冪的可能應用（通常不寫作 I,以避免和其他 I 形符號產生混淆）。 在這個上下文中， 冪 指反覆應用，和. 中的平方意義相同。 例如，可以提出如何解釋如下符號的問題. 作為微分 算子 的平方根（半次操作），也就是一種算子操作兩次以後可以有 微分 的效果。 更一般的， 對於實數值的 n，使得當 n 為整數時，若 n>0,它等同於通常的冪 n 次操作，當 n <0,它等同於n次積分 J。 討論這個問題有幾個原因。 一個是，這樣冪 Dn 組成的 半群 可以看作一個 連續 的半群中取 離散 值的部分。 連續半群在數學上有很好的研究，有一個有趣的理論。
(3) 導出微分的四則運算和合成運算的公式。(4) 三角函數, 反三角函數與指數, 對數, 雙曲函數的微分。(5) 隱函數微分。(6) 微分應用, 包括變化率、 相對速率及線性估計。3.1 切線(Tangents) 定義 3.1.1. (1) 曲線y = f(x) 在點P(a,b) 之斜率 (slope) 為 m = lim h!0 f(a+h)
¹p»çÍ }(99ç ˇ) Àj 10: }í!…d† (c) ªòQàÎ d†, O¬˙õÆ. CløŸ˜ZŸA f(x) = 2x3/2 − 5x1/2 + 3x−1/2 yà冪Ÿ †,) f0(x) = 3x1/2 − 5 2 x−1/2 − 3 2 x−3/2 6x2 − 5x − 3 2x3/2 註. û函b乘 d†í„p,!…,ÿu‹øá, Áøá, y根W函bíª 4 (çÍ\„©/4) Ê ¾Ï¼í” ̬˙2, Uà”Ìí4”Rû7); ªAW嘗t‹, Á另 øá f(x)g(x + ∆x)
数学 上， 分數微積分（fractional calculus） 是 数学分析 的一个分支，它研究 微分算子 和积分算子 J 的 实数 次幂的可能应用（通常不写作 I,以避免和其他 I 形符号产生混淆）。 在这个上下文中， 幂 指反复应用，和. 中的平方意义相同。 例如，可以提出如何解释如下符号的问题. 作为微分 算子 的平方根（半次操作），也就是一种算子操作两次以后可以有 微分 的效果。 更一般的， 对于实数值的 n，使得当 n 为整数时，若 n>0,它等同于通常的幂 n 次操作，当 n <0,它等同于n次积分 J。 讨论这个问题有几个原因。 一个是，这样幂 Dn 组成的 半群 可以看作一个 连续 的半群中取 离散 值的部分。 连续半群在数学上有很好的研究，有一个有趣的理论。
