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分数階微分積分学 （ぶんすうかいびぶんせきぶんがく、 英: fractional calculus ）は 解析学 （特に 微分積分学 ）の一分野で、微分作用素 D および積分作用素 J [1] が実数冪あるいは複素数冪をとる可能性について研究する 学問 である。 この文脈における「冪」の語は作用素の合成を繰り返し行うという意味で用いており、それに従えばたとえば f2 ( x) = f ( f ( x )) ということになる。 さてたとえば、 微分作用素 D の 平方根 （あるいは微分を半分だけ作用させる）という意味での式. に何か意味のある解釈をつけられるかということを考える。
概要. 発想. 経路の干渉. 詳細説明. 具体例 1. 具体例 2. 脚注. 参考文献. 関連項目. 外部リンク. 経路積分. 数学 ・ 解析学 分野の一つである「 線積分 」とは異なります。 経路積分 （けいろせきぶん）あるいは 径路積分 は、 リチャード・P・ファインマン が考案した 量子力学 の理論手法である。 ファインマンの経路積分 とも呼ばれる。 概要. t0 で同時に A 点を出発した粒子が、別の t1 で同時に B 点に到達する無数の経路のうちの 3 つを示している。 古典力学 （古典系）では、ある質点の運動の様子（運動の経路）は初期状態を決めてしまえば後は 運動方程式 を解くことによって一意的に定まる。
シンプレクティック数値積分法 (シンプレクティックすうちせきぶんほう, symplectic integrator) とは、 正準力学系 の 運動方程式 に特化した 常微分方程式の数値解法 のことをいう。 系の シンプレクティック形式 および ハミルトニアン を保存するため、 ルンゲ＝クッタ法 のような汎用の数値積分法に比べて良い性質を示す。 このために 天体力学 などの分野で採用されている [1] 。 概要. オイラー法 、 ルンゲ＝クッタ法 とシンプレクティック積分子による 調和振動子 の数値解の エネルギー 誤差の比較。 横軸は周期で規格化した時間、縦軸は数値解のエネルギーの真のエネルギーに対する相対誤差。 すべての数値解で時間刻み幅は同一である。
解析学 において、 広義積分 （こうぎせきぶん、 英: improper integral ）とは何らかの 定積分 の積分区間を動かしたときの 極限 である。 極限値は有限確定値に収束することもあるが発散することもある。 積分区間の端点（片方または両方）は何らかの 実数 か正または負の無限大に近づく。 （ 多変数関数 に対する広義重積分の場合には積分領域を取り尽くす、適当な 有界 可測集合 列に関する極限をとる [1] 。 定式化. 厳密に言えば 広義積分 とは積分の一種ではなく、以下のような形の式の総称である。 まず. ここで c は正または負の無限大であるか、 x → c − 0 につれて | f (x)| が無限大となるような定数である。 または.
数学 において、 ボールウェイン積分 （ 英 : Borwein integral ）は関数sinc ( ax) の積の 積分 である。 ただし、ここでsinc ( x )は sinc関数 であり、0でないxに対しては sinc ( x )=sin ( x )/ x とし、sinc (0)=1と定める [1] [2] 。 2001年に デイヴィッド・ボールウェイン （ 英語版 ） と ジョナサン・ボールウェイン （ 英語版 ） によって提示された。 これらの積分は、わかりやすいパターンを示すかと思いきや、やがてそれが崩れることで知られる。 たとえば、以下のとおりである。 このパターンは、次まで続く。 ところが、次のステップではこのパターンが崩れてしまう。
フランス の 数学者 、 コーシー の名にちなむ 反復積分に関するコーシーの公式 （ 英: Cauchy formula for repeated integration ）は、 n 回の 不定積分 を一度の積分にまとめる公式である。 実数の場合. f を実軸上の連続関数とする。 このとき、 a を基点とする f の n 回繰り返し積分. , は、次の単一の積分にまとめられる。 . 証明は 数学的帰納法 による。 f は連続なので、 n=1 のときは 微分積分学の基本定理 より、 ; ここで、 . 今、 n のとき主張が正しいと仮定し、 n+1 のときも主張が成立することを示そう。 帰納法の仮定を適用し、積分の順序を入れ替えて、 よって、主張は示された。 応用.
第一原理経路積分分子動力学法（ 、 英: First-principles path-integral molecular dynamics method ）とは、 経路積分 手法と 第一原理分子動力学法 とを、融合（統合）した手法。 水素 のような非常に軽い元素は、 原子核 （この場合はプロトン、つまり 陽子 のこと）自身が持つ量子効果を無視できない場合が出てくる。 この量子効果を記述するために経路積分法を用いる。 適用されるのは、水素のような軽元素以外に、固体内での ミューオン の挙動などを記述する場合にも用いられる。 関連項目. 第一原理バンド計算. カテゴリ: 量子力学. 計算物理学.
