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S=π (圓周率)×a×b
- 橢圓面積公式：S=π (圓周率)×a×b，其中a、b分別是 橢圓 的長半軸，短半軸的長。
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橢圓是一種 圓錐曲線 ：如果一個平面切截一個 圓錐 面，且不與它的底面相交，也不與它的底面平行，則圓錐和平面交截線是個橢圓。 在代數上說 ，橢圓是在 笛卡爾平面 上如下形式的方程所定義的 曲線. 使得 ，這裡的係數都是實數，並存在定義在橢圓上的點對 (x, y) 的多於一個的解。 穿過兩焦點並終止於橢圓上的 線段 AB叫做 長軸 。 長軸是通過連接橢圓上的兩個點所能獲得的最長線段。 穿過中心（兩焦點的連線的中點）垂直於長軸並且終止於橢圓的線段CD叫做 短軸 。 半長軸 （圖中指示為 a ）是長軸的一半：從中心通過一個焦點到橢圓的邊緣的線段。 半短軸 （圖中指示為 b ）是短軸的一半。 如果兩個焦點重合，則這個橢圓是 圓 ；換句話說，圓是 離心率 為零的橢圓。
在幾何中，橢圓是規則的橢圓形狀，由在平麵中移動的點跟蹤，使得它與其他兩個點（焦點）的距離之和是恒定的，或者當錐體被傾斜平麵切割時產生不與基地相交。 公式. 沒有用於計算橢圓周長的高精度的簡單公式。 以下是此計算機中使用的橢圓周長的近似計算公式： 其中： a =橢圓的半長軸長度. b =橢圓的半短軸長度. π= 3.141592654. Reference this content, page, or tool as: "橢圓周長計算機" at https://miniwebtool.com/zh-tw/ellipse-circumference-calculator/ from miniwebtool, https://miniwebtool.com/
- 概觀
- 基本介紹
- 面積公式
- 陰影面積
- 周長公式
- 周長算法
橢圓面積公式：S=π(圓周率)×a×b，其中a、b分別是橢圓的半長軸，半短軸的長。橢圓面積公式屬於幾何數學領域。
定理內容
如果一條固定直線被甲乙兩個封閉圖形所截得的線段比都為k，那么甲面積是乙面積的k倍。 那么x^2/a^2+y^2/b^2=1 （a>b>0）的面積為π * a^2 * b/a=πab 因為兩軸焦點在0點，所以橢圓的面積可以分為4個相等的部分，分別是+x+y、-x+y、-x-y、+x-y四個區域，所以只要求出一個象限間所夾的面積，然後再乘以4就可以得到整個橢圓的面積。揀最簡單的來吧，先求第一象限所夾部分的面積。 根據定積分的定義及圖形的性質，我們可以把這部分圖形無限分為底邊在x軸上的小矩形，整個圖形的面積就等於這些小矩形面積和的極限。現在套用元素法，在圖 形中任找取一點，然後再取距這點距離無限近的另一個點，這兩點間的距離記做dx，然後取以dx為底邊，兩點分別對應的y為高，與曲線相交夠成的封閉的小矩 形的面積s，顯然，s=y*dx 現在求s的定積分，即大圖形的面積S，S=∫[0:a]ydx 意思是求0 到 a上y關於x的定積分 步驟：（第一象限全取正，後面不做說明） S=∫[0:a]ydx=∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx 設 x^2/a^2=sin^2t 則 ∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx=∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint) pi=圓周率 ∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint)=∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt cos^2t=1-sin^2t ∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt 這裡需要用到一個公式：∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[0:pi/2]f(cosx)dx 證明如下 sinx=cos(pi/2-x) 設u=pi/2-x 則 ∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[pi/2:0]f(cosu)d(pi/2-u)= -∫[0:pi/2]f(sinu)d(pi/2-u)=∫[0:pi/2]f(sinu)du=∫[0:pi/2]f(sinx)dx 則∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt=a*b*（pi/2）-∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt 那么 2*∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt=a*b*（pi/2) 則S=a*b*(pi/4) 橢圓面積S_c=a*b*pi 可見橢圓面積與坐標無關，所以無論橢圓位於坐標系的哪個位置，其面積都等於半長軸長乘以半短軸長乘以圓周率
導數方法
設橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1 取第一象限內面積 有 y^2=b^2-b^2/a^2*x^2 即 y=√（b^2-b^2/a^2*x^2) =b/a*√(a^2-x^2) 由於該式反導數為所求面積，觀察到原式為圓方程公式*a/b，根據(af(x))'=a*f'(x),且x=a時圓面積為a^2π/4 可得 當x=a時，1/4S=b/a*1/4*a^2*π=abπ/4 即S=abπ。 此方法比較容易理解。
眾所周知，斜切圓柱所得截面即為橢圓，這在高中數學圓錐曲線一章有闡述，下面就用陰影面積法巧妙求解橢圓面積。圓形面積與橢圓面積之比為cosθ，則cosθ=πR^2/S=2R/2a，橢圓短軸b即為圓柱底面半徑R,即R=b，所以S=πR^2*a/R=πaR=πab
橢圓周長沒有公式，有積分式或無限項展開式。
橢圓周長(L)的精確計算要用到積分或無窮級數的求和。如
L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2) [橢圓近似周長], 其中a為橢圓長半軸，e為離心率
橢圓離心率的定義為橢圓上的點到某焦點的距離和該點到該焦點對應的準線的距離之比，設橢圓上點P到某焦點距離為PF，到對應準線距離為PL，則
e=PF/PL
橢圓的準線方程
一、
L1 = π · qn / atan(n)
(b→a，q=a+b，n=((a-b)/a))^2
這是根據圓周長和割圓術原理推導的，精度一般。
二、
L2 = π · θ/(π/4) · (a - c + c/sinθ)
橢圓是 圓錐曲線 的一種，即圓錐與平面的 截線 。 橢圓的周長等於特定的正弦曲線在一個周期內的長度。 基本介紹. 中文名 ：橢圓. 外文名 ：ellipse. 別稱 ：橢圓形. 表達式 ：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|） 套用學科 ：數學. 適用領域範圍 ：天文學. 適用領域範圍 ： 解析幾何 學. 幾何類別 ：圓錐曲線. 橢圓簡介. 在數學中，橢圓是圍繞兩個焦點的平面中的曲線，使得對於曲線上的每個點，到兩個焦點的距離之和是恆定的。 因此，它是圓的概括，其是具有兩個焦點在相同位置處的特殊類型的橢圓。 橢圓的形狀（如何“伸長”）由其偏心度表示，對於橢圓可以是從0（圓的極限情況）到任意接近但小於1的任何數字。 橢圓是封閉式圓錐截面：由錐體與平面相交的平面曲線。
橢圓的焦半徑公式如下 [5] ： 以 F 1 ( − c , 0 ) , F 2 ( c , 0 ) {\displaystyle F_{1}(-c,0),F_{2}(c,0)} 為焦點、離心率為e的橢圓 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} 上任意一點 P ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle P(x_{1},y_{1})} 的焦半徑公式為：
2013年6月13日 · 本影片介紹了橢圓的方程式和公式，並用圖解和例題來說明橢圓的性質和應用。如果你想學習更多關於橢圓的知識，請點擊 ...
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橢圓面積公式：S=π ( 圓周率 )×a×b，其中a、b分別是 橢圓 的長半軸，短半軸的長。 橢圓面積公式屬於 幾何 數學領域。 中文名. 橢圓面積公式. 外文名. Ellipse area formula. 別 名. 橢圓形面積公式. 表達式. S=π×a×b. 適用領域. 幾何數學領域. 應用學科. 數學. 目錄. 1 面積公式. 定理內容. 導數方法. 2 陰影面積. 橢圓面積公式 面積公式. S=π ( 圓周率 )×a×b (其中a,b分別是橢圓的長半軸,短半軸的長).或S=π (圓周率)×A×B/4 (其中A,B分別是橢圓的長軸， 短軸 的長). 橢圓面積公式 定理內容. 如果一條固定直線被甲乙兩個 封閉圖形 所截得的線段比都為k，那麼甲面積是乙面積的k倍。
