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正確的公式是由萊布尼茲所提出,一般稱為萊布尼茲法則(Leibniz’s rule) 或乘法的微分法則(product rule) 。 在實際介紹前,我們來看一下此法則直觀的意義:假設u = f (x) 與v = g(x)均為正可微函數。 此時我們可以將uv視為一個矩形的面積,如下圖: 相乘函數的值便是(u + u)(v + v) ,在其值為正時,我們剛好可以用前面圖一的矩形面積來表示。 ( 注意到由於f 為連續,因此增量 u 0 當 x 0。 另外雖然我們是從矩形面積開始考慮,但不管u, v或者他們的增量符號為何,這個代數運算都是正確的。 對兩個函數fg 相乘微分,即先對f 微分乘上g 加上f 乘上g的微分。 給定f(x) = xex ,求f (x).
在這一節我們要計算常數函數、冪函數、多項式以及指數函數的微分。 先從最簡單的常數函數開始,考慮f(x) = c 。 其函數圖形y = c 即右圖的水平線,顯然其切線斜率均為0 ,因此有f’(x) = 0 。 接著我們看冪函數的導數。 假設f(x) = xn ,其中n 為正整數. 當然我們從定義也可以得到同樣的結果。 給定f(x) = x6 ,則f (x) = 6x5 。 若y = x1000 ,則y = 1000x999 。 ,則 t4 = y 若 (c) = 4t3 。 更一般的狀況,我們可以推廣到任意實數的版本。 有了這些公式以後,我們在求導數時便不用再重新利用定義去計算。 甚至可以反過來利用公式求切線,或者再更進一步求得法線. (normal lines) 。
微分式的乘除法不可像加減法一樣直接分開，而是要遵循下列公式。 乘法： (f (x)\cdot g (x))^\prime (f (x) ⋅ g(x))′. =f^\prime (x)\cdot g (x)+f (x)\cdot g^\prime (x) = f ′(x) ⋅ g(x) + f (x) ⋅ g′(x) 除法: (\frac {f (x)} {g (x)})^\prime (g(x)f (x))′. =\frac {f^\prime (x)\cdot g (x)-g^\prime (x)\cdot f (x)} {g^2 (x)} = g2(x)f ′(x) ⋅ g(x) − g′(x) ⋅ f (x) 微分式可以利用連鎖律進行變換，以利計算。
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我們欲求一函數之微分函數（或稱導函數），每每須由下列定義來求： 過程中需要用到各種極限定律，計算往往冗長不便，在本節中，我們將介紹一些微分公式以替代上述直接由定義求微分的方式，可節省我們很多時間與力氣。 其直觀意義可由圖一中函數圖形每一點之切線皆為水平得到驗證。 其直觀意義可由圖二中函數圖形得到驗證。 在此 限制為正整數，稍後我們可將此推廣至整數，在 3.7隱微分 中又可將此推廣至有理數，最後在7.4一般對數及指數函數可將此推廣最極至，亦即 為所有實數皆成立。 （6）同上，將“”改成“”即可同理推導之，讀者可自行練習。 若為一整數，則。 （1）為正整數，證明如3.3.1。 （2） 時， ， ，左＝右，故得證。 或許有人會注意到上述 有問題，當 時變成 不一定會等於 。
接下來的這個範例我們稱為對數微分法(logarithmic differentiation) ,是一個可以簡化計算的技巧。 取對數簡化微分的步驟:對具有複雜乘積的函數表示式,兩邊同取對數,簡化成各項相加。 考慮對數f(x) = ln x ,其微分f (x) = 1/x ,因此f (1) = 1 。 我們想利用這個數值來計算自然底數e 。 由於函數的極限存在,因此特別的我們可以挑選x 逼近0的方式是取數列xn = 1/n 。 此時我們可以將這個極限寫成離散型的極限如下。
函數的微分 （英語： Differential of a function）是指對 函數 的局部變化的一種線性描述。 微分可以近似地描述當函數自變量的取值作足夠小的改變時，函數的值是怎樣改變的。 微分在數學中的定義：由 是 的函數 ( )。 從簡單的平面直角坐標系來看，自變量 的變化量趨近於0時 ( )，因變量 的變化量也趨近於0，但 和 的變化量都趨近於0。 當 有極小的變化量時，這稱為 的微分。 當某些函數 的自變量 有一個微小的改變 時，函數的變化可以分解為兩個部分。 一個部分是 線性 部分：在一維情況下，它 正比 於自變量的變化量 ，可以表示成 和一個與 無關，只與函數 及 有關的量的乘積；在更廣泛的情況下，它是一個 線性映射 作用在 上的值。
数学 上， 分數微積分（fractional calculus） 是 数学分析 的一个分支，它研究 微分算子 和积分算子 J 的 实数 次幂的可能应用（通常不写作 I,以避免和其他 I 形符号产生混淆）。 在这个上下文中， 幂 指反复应用，和. 中的平方意义相同。 例如，可以提出如何解释如下符号的问题. 作为微分 算子 的平方根（半次操作），也就是一种算子操作两次以后可以有 微分 的效果。 更一般的， 对于实数值的 n，使得当 n 为整数时，若 n>0,它等同于通常的幂 n 次操作，当 n <0,它等同于n次积分 J。 讨论这个问题有几个原因。 一个是，这样幂 Dn 组成的 半群 可以看作一个 连续 的半群中取 离散 值的部分。 连续半群在数学上有很好的研究，有一个有趣的理论。
數學 上， 分數微積分（fractional calculus） 是 數學分析 的一個分支，它研究 微分算子 和積分算子 J 的 實數 次冪的可能應用（通常不寫作 I,以避免和其他 I 形符號產生混淆）。 在這個上下文中， 冪 指反覆應用，和. 中的平方意義相同。 例如，可以提出如何解釋如下符號的問題. 作為微分 算子 的平方根（半次操作），也就是一種算子操作兩次以後可以有 微分 的效果。 更一般的， 對於實數值的 n，使得當 n 為整數時，若 n>0,它等同於通常的冪 n 次操作，當 n <0,它等同於n次積分 J。 討論這個問題有幾個原因。 一個是，這樣冪 Dn 組成的 半群 可以看作一個 連續 的半群中取 離散 值的部分。 連續半群在數學上有很好的研究，有一個有趣的理論。
經濟系微積分(98 學年度) 單元 11: 乘法與除法規則 (c) 因為分母只有一項 , 故一個簡單的作法是根據分配律 , 將分子的每一項改寫成 cx n 的形式後 , 再逐項微分 , 而避
